Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики [без таблиц] - Беллюстин Всеволод Константинович - Страница 35

Петръ Рамусъ, знаменитый французскій математикъ и философъ XVI стол?тія, даетъ въ глав? о дробяхъ, какъ и въ другихъ отд?лахъ математики, много св?жихъ и новыхъ мыслей. Онъ особенно настаиваетъ на томъ, что ученикамъ надо объяснять правила, а не только принуждать выучивать ихъ наизусть, и что правила надо выводить, а не только прим?нять готовыя къ прим?рамъ. Однако, самъ Рамусъ, всл?дствіе той туманности, которую придавали ари?метик? его предшественники, не всегда одинаково ясно и удачно ведетъ свое изложеніе, такъ что въ случа? умноженія дробей мы находимі, у него такой запутанный выводъ: «дано умножить ? на ?, это значитъ найти ? части отъ дроби ?; разсуждаемъ по тройному правилу—1 относится къ 3, какъ 2 къ 6, и 1 относится къ 4, какъ 3 къ 12, сл?довательно, отв?тъ будетъ : 6/12 это и есть произведеніе ? на ?».

Русскіе математики XVII и XVIII в. сл?довали въ глав? объ умноженіи западно-европейскiмъ образцамъ. Они разсматривали 3 случая: a) умноженіе дроби на ц?лое, b) умноженіе дроби на дробь и c) умноженіе см?шанныхъ чиселъ. Въ конц?, въ такъ наз. «строк? генераль» давалось общее правило перемноженія дробей. Неизм?няемость произведенія при перестановк? производителей объяснялась въ такихъ выраженіяхъ:

«в?даи доли изъ доли умноженіе, какъ ? изъ ? умножаи придетъ 1/12 такожъ ? изъ ? то-жъ 1/12».

 Знакъ при умноженіи дробей всегда употреблялся такой: одна горизонтальная черта проводилась отъ числителя къ числителю, а другая отъ знаменателя къ знаменателю, и это служило хорошимъ знакомъ д?йствія, такъ какъ этимъ обозначался порядокъ вычисленія.

Зам?чательно м?сто у Магницкаго, въ которомъ онъ трактуетъ объ умноженіи простыхъ дробей. Зд?сь явственно вылилась вся нетребовательность по отношенію ко всякимъ выводамъ и объясненіямъ. Достаточно сообщить правило, а кром? него что же еще надо? такъ, нав?рное, думаетъ Магницкій, и мы не можемъ отказать себ? въ томъ, чтобы не привести отрывка изъ его ари?метики. Стр. 54

«Мултипликаціо или умноженіе въ доляхъ. Что въ семъ пред?леніи достоитъ в?дати. Впервыхъ подобаетъ в?дати яко во умноженіи н?сть потреба да сравняеши доли къ единакому знаменателю: но яковы доли дадутся, таковы и умножати числители чрезъ чиелители, и знаменатели чрезъ знаменатели, якоже ? чрезъ ?. 3 чрезъ 1 будетъ 3, а 8 чрезъ 4, будетъ 32, и еже отъ числителей произыдетъ напиши надъ чертою, а отъ знаменателей произведеное напиши подъ чертою и будетъ 3/32».

Итакъ, въ ари?метик? дается только правило, безъ вывода, зато посл? правила идетъ ц?лый рядъ прим?ровъ, всего 60 номеровъ, съ отв?тами, и предлагается заняться прод?лываніемъ этихъ прим?ровъ, чтобы, такъ сказать, набить руку въ этомъ правил?.

Преемники Магницкаго, т.-е. составители русскихъ учебниковъ XVIII и даже ХІХ в., не оказались счастлив?е его въ этомъ случа?. Они тоже или не даютъ никакихъ объясненій умноженія дробей, или даютъ объясненія спутанныя и трудныя. Такъ, въ ари?метик? Адодурова (1740 г.) про умноженіе дробей объясняется на 29 страницахъ, при чемъ объясненіе дано очень растянутое, многословное и малоуб?дительное. У Румовскаго (1760 г.) передъ дробями расположены пропорціи, и умноженіе дробей выводится изъ общаго свойства пропорцій, именно, что произведеніе крайнихъ членовъ равно произведенію среднихъ членовъ. И сами пропорціи являются для учениковъ темнымъ м?стомъ, а ужъ про выводъ изъ нихъ и говорить нечего, особенно когда он? идутъ на буквахъ, какъ это видимъ у Румовскаго. Порядочное изложеніе встр?чаемъ мы у Загорскаго (1806 г.), но уже у Павла Цв?ткова (1834 г.) опять тянется старая п?сня. «Какъ множится дробь на дробь?» спрашиваетъ онъ, и отв?чаетъ:

«При умноженіи дробей на дроби надлежитъ множить числітелей на числителей, а знаменателей на знаменателей».

Этимъ заканчивается § 34, и авторъ уже бол?е не желаетъ возвращаться къ подобному скучному вопросу, къ которому, вдобавокъ, никакъ еще не придумать подходящаго объясненія. И это въ то время, когда Цв?тковъ для бол?е легкаго вопроса, для умноженія дроби на ц?лое, находитъ нужнымъ и возможнымъ дать толковое объясненіе.

Да, умноженіе на дробь и въ старину, и еще теперь является однимъ изъ самыхъ больныхъ м?стъ начальной ари?метики.

Д?леніе. Д?леніе дробей шло все время правильнымъ путемъ, безъ скачковъ и отклоненій въ сторону. Еще древніе египтяне вполн? логично заключали, что д?леніе обратно умноженію, и что поэтому его можно привести къ умноженію. По своей привычк? къ основнымъ дробямъ, т.-е. съ числителемъ, равнымъ единиц?, они и д?леніе разсматривали съ точки зр?нія этихъ дробей. Прим?ръ: 2 : 1? ?. Зд?сь египтяне ставили вопросъ: на какое чиоло надо помножить выраженіе 1? ?, иначе сказать 1 + ? + ?, чтобы получить въ произведеніи 2? Для этого помножаемъ количество 1? ? на ? ? 1/6 1/12, и получаемъ 285/144; при этомъ отд?льно помножается множимое число на ?, на ?, на 1/6 и на 1/12, съ такимъ расчетомъ, чтобы каждое сл?дующее произведеніе было вдвое меньше предыдущаго. Такъ какъ 285/144 отличается отъ даннаго числа 2 на 3/144, т.-е. на 1/72 1/144, то остается р?шить вопросъ: на какое число надо умножить 1 ? ?, или 288/144, чтобы получить сперва 1/144? Очевидно, на 1/228. Чтобы получить 1/72, надо умножить на 1/114 Такимъ образомъ, посл? довольно запутаннаго вычисленія получается итогъ: ? ? 1/6 1/12 1/114 1/288, который и считался у египтянъ вполн? нормальнымъ, какъ составленный изъ основныхъ дробей (дробь ? у нихъ тоже признавалась основной, это единственная изъ дробей съ числителемъ 2, у нея даже былъ свой спеціальный знакъ).

Римскій способъ д?ленія дробей напоминаетъ собой римскій же способъ д?ленія ц?лыхъ чиселъ. Вотъ прим?ръ Бернелинуса (въ XIII ст. по Р. X.). Разд?лить 28 на 1?. Д?лится 28 не на 1?, а на 2, т.-е. д?литель дополняется до ц?лаго числа, 28 : 2=14; теперь надо составить лишекъ или сдачу, которую сл?дуетъ возвратить д?лимому; такъ какъ на каждую часть взято лишняго по ?, то на вс? 14 частей пришлось З?, д?лимъ З? на 2, будетъ въ частномъ 1, въ остатк? 1?; сдачи возвратится ?, всего составится въ д?лимомъ 1?; д?лимъ это количество на 1? и получимъ въ частномъ 1; такимъ образомъ, весь искомый результатъ будетъ 14 + 1 + 1 = 16.

Неморарій, математикъ среднихъ в?ковъ, современникъ Бернелинуса, пользуется для д?ленія аналогіей съ умноженіемъ и даетъ сл?дующій искусственный пріемъ. Задано разд?лить 2/3 на 4/5. Тогда числитель и знаменатель первой дроби увеличивается въ 4 ? 5 разъ и зат?мъ прим?няется правило: числителя разд?лить на числителя, а знаменателя на знаменателя, подобно тому, какъ въ умноженіи дробей множатся числитель на числителя и знаменатель на знаменателя.

Получается формула:

Леонардо Фибонначи, итальянскій математикъ XIII в?ка, сов?товалъ приводить дроби къ одному знаменателю и потомъ уже д?лить, пользуясь аналогіей съ именованными числами, такъ какъ тамъ, обыкновенно, м?ры раздробляются въ одинаковое наименованіе, и зат?мъ полученныя числа д?лятся. Прим?ръ у Фибонначи сл?дующій:

Въ XVI ст. по Р. X. на сцену вышло новое правило д?ленія дробей: надо д?лимое помножить на обращеннаго д?лителя. Прим?ръ: ? : ?. Для р?шенія его множимъ ? на 3/2, получимъ 9/8, это и будетъ в?рнымъ отв?томъ. Въ объясненіе этого правила, равно какъ и вс?хъ другихъ, авторы учебниковъ входить не любили. Они только ограничивались т?мъ, что приводили самое правило и потомъ н?сколько прим?ровъ съ р?шеніемъ. Ученики же запоминали правило и практиковались въ прим?неніи его къ вычисленіямъ.