Хаос и структура - Лосев Алексей Федорович - Страница 69

Математики рассуждают так [57]. Мера множеств, лежащих на данном сегменте, есть не что иное, как более общее понятие длины отрезков этого сегмента. Пусть какое–нибудь множество F входит в S. Так как обычно берется интервал [0,1 ], то мера множества μ(F) равняется 1—мера (S— F),т. е. мера F + мера (S—F) = мере S=1. Мера μ(F) есть нижняя граньмножества всех мер μ(G), т. е. всех мер любой «области» G, которая содержит F. Мера этой области μ(G) есть, наоборот, верхняя граньвсех мер любого замкнутого множества F, лежащего в этой области. Если взять произвольное множество G⊃ Ε, то нижнюю грань множества всех неотрицательных чисел, изображающих меру области можноназвать внешней мероймножества μ*(E) a верхнюю грань всех неот­рицательных чисел, дающих меру для F⊂ E, можно на­звать его внутренней меройμ*(E). Когда внутренняя мера множества равняется его внешней мере, то множество измеримо, и данное число его внутренней или внешней меры есть его мера вообще. Попросту говоря, если я буду измерять данный объем изнутри и его же извне и оба размера измерения совпадут, то это значит, что данный объем действительно измерим и существует некая опре­деленная количественная величина, которая его изобра­жает (или измеряет). Ясно видно, что измеримость мно­жества связывается именно с возможностью его перекры­тия, т. е. покрытия новымслоем, т. е. с введением момента становления.

Отбросим всякое становление и возьмем только голую структурность множества, т. е. едино–раздельность актов числового полагания (признавая только такое становление, которое абсолютно имманентно самой отвлеченной структуре множества и еще не выделено в особую категориальную положенность). Тогда мы получим в качестве идеального образца просто натуральный ряд чисел и то, что называется счетным множеством (т. е. множество, эквивалентное множеству всех натуральных чисел). Какова будет мера всякого счетного множества? Его мера = 0; и это ясно само собой, хотя математики делают вид, что они это «доказывают». Это ясно так же, как и то, что мера множества из одной точки равняется нулю. Возьмем отрезок [0; 1 ] и на нем множество всех отрицательных чисел. Какова мера этого множества? Ясно, что мера эта равна единице. Вообще говоря, всякое замкнутое множество (т. е. содержащее в себе все свои предельные точки) и всякое совершенное множество (т. е. содержащее в себе все свои предельные точки и никаких других), если мера его будет больше нуля, всегда будет несчетно.

Употребляя совсем обывательскую терминологию (а она всегда прекрасна, если правильно отражает интуитивную картину жизни), можно сказать так. Когда есть просто идеальная структура, она несжимаема и нера–сширяема и плотность ее дана раз навсегда. Когда дается ее инобытийно становящийся аналог, то этот аналог можно деформировать как угодно. На то он и есть инобытие, становление. И вот, я могу эти точки, из которых состоит множество и о взаимном расстоянии которых раньше не было речи (или шла речь в переносном смысле слова), располагать на том или ином расстоянии одна от другой, располагать их гуще или реже. Вот эта плотность распределения и есть мера. Ясно, что различия «плотности» предполагают введение принципа инобытия в абсолютную «плотность» (или, если угодно, абсолютную разреженность [58]) абстрактного, идеального множества. Но инобытие в сравнении с абсолютной различенностью структуры есть некая неразличимость; неразличимость же есть сплоченность, сплоченность есть континуум, г. е. несчетное множество. Следовательно, наличие <…> меры, превышающей нуль, уже предполагает несчетное множество.

b) Измеримость множества есть, таким образом, результат его непрерывности. К этому сводятся основные положения теории измеримых множеств, которые, по Н. Лузину [59], звучат так.

Во всяком измеримом множестве Μ меры μ, μ>0 содержится такое совершенное множество Ρ, что

mes Ρ>μ — ε,

где ε>0, малое как угодно.

Всякое измеримое множество Μ меры, большей нуля, есть сумма конечного, или счетного, числа совершенных множеств Pi, Pi, … не имеющих попарно общих точек, и нуль–множеств [а ]N.

Измеримое множество обладает точками плотности и точками сгущения. Точка а есть точка плотности множества, если отношение

где δ — интервал, содержащий а внутри, стремится к 1, когда δ стремится к нулю. Та же самая точка есть точка разрежения, если это отношение стремится к нулю вместе с δ.

Если mes М= 1, всякая точка области [0, 1 ] есть точка плотности, и, если mes М = 0, всякая точка есть точка разрежения.

Обращаясь к геометрической аналогии, мы находим, что никакое измеримое множество Μ меры 1 не может быть равномерно расположенным на области [0, 1 ]. Тут всегда будет, по крайней мере, одна точка плотности и одна точка разрежения, т. е. на этой области имеются два интервала равной длины и неперекрывающиеся, из которых один насыщен точками Μ, а другой пустует или беден ими [60]. Таким образом, всякое измеримое множество меры не 0 и не 1 не будет равномерно покрывать область [0, 1 ], но «будет лежать на ней как бы сгустками, будучи слишком уплотненным в одних частях этой области и слишком разреженным в других».

Соответственно надо говорить и о последовательности измеримых функций (такова теорема Д. Ф. Егорова о наличии совершенного множества с равномерной сходимостью последовательности функций) и вообще об измеримых функциях. Для того, чтобы функция /(х), конечная почти всюду на [0, 1 ], была измеримой функцией, необходимо и достаточно, чтобы, как бы мало ни было положительное число ε, существовало на [0, 1 ] совершенное множество Р, обладающее свойствами:

1. f(x) непрерывна на Р,

2. mes Р> 1 — ε.

Совершенно ясно, что во всех этих представлениях меры мы все время имеем дело с непрерывностью, т. е. со становлением, но только это не просто становление (иначе у нас получился бы теоретико–множественный континуум), но становление, рассмотренное с точки зрения едино–раздельности, т. е. измеряемое становление.

с) Необходимо также заметить, что здесь мы, как и соответственно выше, в § 2с, в отношении геометрии пришли только к самому общему понятию меры. Собственно говоря, если строго придерживаться рамок нашей общей категории становления, которую мы сейчас изучаем, мы можем утверждать сейчас только то, что существует измеримость множества вообще и больше ничего. Представление множества с точки зрения едино–раздельности, когда мы имеем в качестве самой сложной категории только категорию типа, было совершенно лишено всякого элемента измеримости, или, иначе, мера чистого и основного множества (счетного множества) — нуль. Теперь же мы приходим к тому выводу, что измеримость может быть и не только нулевой, — только об этом и говорит нам категория становления. Если же мы захотели бы исследовать разные типы измеримости, то это было бы равносильно исследованию разных типов становления, т. е. тут нужен был бы выход за пределы самой категории становления. Но это в полной мере совершится только после перехода нашего становления в ставшее и далее, наконец, в выразительную форму.

7. Наконец, бросим взгляд на теорию вероятностей в смысле того, как наличная в ней сфера становления испытывает на себе воздействие аксиом едино–раздельности.

Становление, взятое само по себе, есть процесс, последовательность. Когда мы оформляли его при помощи арифметических действий, мы получали ту или иную последовательность чисел. Когда это оформление совершалось у нас при помощи геометрических построений или теоретико–множественных операций, мы получали последовательность тех или иных вариаций пространства или множеств. В теории вероятностей мы тоже должны получить такую последовательность, которая бы свидетельствовала о размеренности ее с точки зрения тех или иных теоретико–вероятностных операций. Процессуаль–ность вероятностей должна свидетельствовать здесь о некоем постоянном законе, неизменном в данной процессуальное. В арифметической последовательности неизменно то или иное арифметическое действие (напр., умножение на какое–нибудь число в неизменной [61]прогрессии); в геометрической последовательности преобразований он имел также тот или иной инвариант. 1де же этот неизменный закон тех или иных операций в последовательности вероятностной?