Далекое будущее Вселенной Эсхатология в космической перспективе - Эллис Джордж - Страница 32

32

Срок жизни черных дыр с массой галактики простирается до 10100 лет. В конце жизни каждая черная дыра на небольшое время ярко вспыхивает. В последнюю секунду своего существования она излучает около 1031 эргов горячей радиации. Таким образом, холодная расширяющаяся вселенная будет время от времени освещаться фейерверками.

Е. При абсолютном нуле материя становится жидкой

Далее мне хотелось бы обсудить группу физических процессов, происходящих с обычной материей при абсолютном нуле в результате проницаемости квантово–механического барьера. Время действия этих процессов вычисляется по формуле Гамова:

Τ = exp(S)T 0, (30)

где Т 0— период естественного колебания системы, a S — интеграл действия

S = (2/h) ∫ (2MU(x)) 1/2dx. (31)

Здесь х — координата, измеряющая состояние системы, проходящей через барьер, a U(x) — высота этого барьера как функция х. Чтобы получить примерную оценку S, я заменяю (31) следующей формулой:

S = (8MUd 2/h 2)" 2, (32)

где d — толщина, U — средняя высота барьера, a M — масса объекта, который сквозь него проходит. Рассмотрим процессы, при которых значение S велико, что чрезвычайно увеличивает и их продолжительность (30).

В качестве примера возьмем поведение сгустка плотной материи — астероида или планеты, остуженного до абсолютного нуля. Благодаря силам сцепления и химической связи его атомы застывают в фиксированном положении, казалось бы, навсегда. Однако время от времени они двигаются и изменяют свое положение друг относительно друга, пересекая энергетические барьеры путем квантово–механического туннелирования. Высота барьера, как правило, порядка одной десятой единицы Риндберга:

U = (1/20) (e 4m/h 2), (33)

а плотность — порядка радиуса Бора:

d = (h 2me 2), (34)

где m — масса электрона. Таким образом, получаем интеграл действия

S = (2Am p/5m) 1/2= 27А 1/2, (35)

где т р— масса протона, а А — атомный вес движущегося атома. Для атома железа, у которого А = 56, a S = 200, (30) дает

Т= 10 65лет. (36)

Даже самые прочные материалы не смогут сохранить свою форму или химическую структуру за временной период, сравнимый с (36). В период 10 65лет любой камень начнет вести себя как жидкость, под воздействием гравитации постепенно принимая сферическую форму. Его атомы и молекулы будут непрерывно перемешиваться, как молекулы в капле воды.

Ж. Вся материя превращается в железо

При абсолютном нуле в материи будут продолжаться как ядерные, так и химические реакции. Элементы тяжелее железа будут превращаться в железо посредством различных процессов, таких, как расщепление и альфа–излучение. Элементы легче железа будут соединяться путем реакций слияния ядер и постепенно также превращаться в железо. Рассмотрим, например, реакцию слияния, в которой два ядра, обладающие атомным весом 1/2А и зарядом 1/2Z, объединяются, образуя ядро (A, Z). Кулоновское взаимоотталкивание ядер эффективно экранируется электронами, пока они не приблизятся друг к другу на расстояние

d = Z -1/3(h 2/me 2) (37)

Кулоновский барьер обладает толщиной d и высотой

U = (Z 2e 2/4d) = ¼Z 7/3(e 4m/h 2). (38)

Сокращенная масса для относительного движения двух ядер:

М = 4¼Am р. (39)

Тогда интеграл действия (32) получает значение

S = (½AZ 5/3(m p/m)) 1/2= 30A½Z 5/6. (40)

Для двух ядер, вместе образующих железо, Z = 26, А = 56, S = 3500, и

Т= 10 1500лет. (41)

В промежуток времени, описанный формулой (41), обычная материя радиоактивна и постоянно генерирует ядерную энергию.

З. Превращение железных звезд в нейтронные звезды

По истечении срока (41) большая часть материи во вселенной, в обычном состоянии находящаяся в форме звезд с низкой массой, превращается в белые карлики — холодные шары, состоящие из чистого железа. Но железная звезда — это еще не самое низкоэнергетическое состояние. Она может избавиться от огромного количества энергии, если превратится в нейтронную звезду. Чтобы коллапсировать, ей необходимо лишь преодолеть барьер конечной высоты и толщины. Интересно спросить, существует ли асимметричный коллапс, проходящий через более низкую седловую точку, чем симметричный коллапс. Я не смог найти приемлемую асимметричную форму, так что мы предполагаем, что коллапс имеет сферическую симметрию. В интеграле действия (31) координата х становится радиусом звезды, и интеграл берется от г, радиуса нейтронной звезды, до R, радиуса железной звезды, с которого начинается коллапс. Высота барьера U(x) будет зависеть от уравнения состояния материи, которое при близости х к г весьма неопределенно. По счастью, уравнение состояния материи хорошо известно для большей части отрезка интегрирования, когда х велико по сравнению с г и основной вклад в U(x) составляет энергия нерелятивистских дегенерирующих электронов:

U(x) = (N 5/3h 2/2mx 2), (42)

где N — число электронов в звезде.

Интегрирование по х в (31) дает логарифм:

log(R/R 0), (43)

где R 0— радиус, при котором электроны становятся релятивистскими и формула (42) перестает работать. Для звезд с низкой массой этот логарифм будет порядка единицы, а интеграл, соответствующий релятивистской области x<R 0, будет тоже порядка единицы. Масса звезды —

M = 2Nm p. (44)

Я заменяю логарифм (43) на единицу и для интеграла действия (31) получаю оценку

S = N 4/3(8m p/m) 1/2= 120N 4/3. (45)

Таким образом, временной срок по формуле (30) —

T = exp(120N 4/3)T 0. (46)

Для типичной звезды с низкой массой получаем

В формуле (46) совершенно неважно значение Т 0, будь это ничтожная доля секунды или множество лет.