Ошибка Коперника. Загадка жизни во Вселенной - Шарф Калеб - Страница 27

27

Рис. 9. Наглядная иллюстрация того, как стремительно возрастает сложность системы из тел, вовлеченных в гравитационное взаимодействие. Вверху слева изображены два тела, которые притягивают друг друга и вращаются по орбитам. Ситуация стабильна и поддается расчетам. Однако если тел уже три (вверху справа), требуются 3 набора координат в трехмерном пространстве, 3 трехмерных вектора скорости и 6 трехмерных векторов силы. Четыре тела (внизу) – 4 набора координат, четыре вектора скорости и 12 векторов силы, и все трехмерное, и все действует одновременно. Неудивительно, что Ньютон оставил попытки искать алгебраическое решение этой задачи.

Главный недостаток этих методов состоял в том, что они не позволяли отслеживать каждый момент в движении системы, а, в сущности, вычисляли средние значения сил, с которыми планеты притягивают друг друга и нарушают орбиты друг друга от оборота к обороту. Это очень хитроумные методы, ими и сегодня пользуются, чтобы получить ответы на вопросы о поведении планетных систем в целом, особенно для краткосрочных прогнозов. В свое время эти методы считались также доказательством детерминистической природы гравитационных систем, которые виделись частью «заводной Вселенной», приводимой в движение законами Ньютона.

Однако, несмотря на внешний лоск, это всего-навсего приближенные вычисления, гениальные математические фокусы, которые дают ответы на некоторые вопросы, но не на все. И к концу XIX века становилось все яснее, что нельзя ни пренебрегать всеми силами, которые участвуют в формировании траектории планеты в будущем, ни упрощать их.

* * *

Так что не приходится удивляться, что уже ставший знаменитым Пуанкаре увидел объявление о конкурсе короля Оскара[117] и с радостью принялся за самую первую задачу, поскольку если бы он решил ее, то навсегда вошел бы в учебники истории. И довольно быстро достиг существенных успехов. Пуанкаре считал, что нашел математическое доказательство того, что можно определить стабильность гравитационной системы из трех тел. А главное, он претендовал на то, что способен рассчитать их движение с произвольной точностью. Казалось бы, что может быть прекраснее, и хотя задача была решена лишь для трех тел, этого хватило, чтобы произвести впечатление на жюри, так что приз оказался у Пуанкаре в кармане.

Но тут-то и начались осложнения. Победоносная статья, как и было обещано, открывала сборник «Acta Mathematica». Однако при редактировании статьи Пуанкаре начал понимать, что кое-что упустил – сделал чудовищную ошибку. Его решение задачи трех тел было неверным, не позволяло получить верный результат, и он был вынужден сообщить об этом редакции журнала. Пуанкаре упустил из виду один частный случай геометрического поведения математических функций, на которых строилось его доказательство.

К сожалению, к тому моменту, когда он сообщил об этом издателям, статья уже была напечатана и разослана по всему миру. Чтобы предотвратить катастрофу, все экземпляры отозвали, а Пуанкаре был вынужден оплатить убытки, счет за которые существенно превышал щедрый приз, совсем недавно полученный от короля Оскара. Бедняга Пуанкаре. Нечасто математические ошибки обходятся так дорого[118].

Однако в этой бочке дегтя была и ложка меда, хотя к банковскому счету Пуанкаре это не относилось. Когда он пришел в себя после такого унижения и сделал работу над ошибками, проделанный им анализ оказал заметное влияние на дальнейшее развитие математики. Пуанкаре доказал, что прямого ответа на гравитационную задачу n тел получить невозможно. Выражаясь языком математики, не существует аналитически интегрируемого решения общей задачи о движении трех тел, вовлеченных в гравитационное взаимодействие, а следовательно, то же верно и для любого числа тел больше трех.

Согласно Пуанкаре, если у тебя есть звезда, вокруг которой по орбитам вращаются две планеты, нет никакого способа точно рассчитать поведение этой системы в будущем (и прошлом) при помощи пера и бумаги. Если планет больше двух – то есть мы имеем дело с произвольной системой из n тел – задача становится еще более безнадежной. Исключений совсем немного, и это весьма затейливые частные случаи, когда, например, третье тело очень мало и его гравитационным воздействием можно пренебречь.

Это было смелое заявление, и новый математический подход Пуанкаре намекал на ту сторону существования Вселенной, которую мы только-только начали замечать под плотными покровами классической физики, а полностью обнажили лишь в следующем, ХХ столетии. Это свойство мироздания называется хаосом, и к нему я скоро вернусь.

Как выяснилось, когда Пуанкаре доказал, что задача n тел не имеет решения, то сделал огромный шаг вперед на пути прогресса науки, однако ученым еще предстояло обнаружить, что здесь таятся и вовсе диковинные подробности. Подобраться к сути задачи было отнюдь не просто, и прошло почти сто лет, прежде чем результат удалось уточнить. В 1990 годы[119] очень красивая работа китайского математика по имени Кидон (Дон) Ван показала, что задача n тел на самом деле может быть решена алгебраическими методами. Однако с одной оговоркой – правда, очень серьезной: для этого нужно было найти сумму ряда из нескольких миллионов членов. Иначе говоря, на самом деле можно написать алгебраическую формулу, которая расскажет все о поведении n тел, однако на это уйдет вечность. К тому же, пока все сложишь, придется сделать столько округлений, что накопившаяся погрешность лишит ответ всякого смысла.

* * *

Тайная природа планетных систем, которая со времен Пуанкаре стала гораздо более явной, дает нам очень важную подсказку. Уравнения, которые описывают движения планет, не способны учесть и проконтролировать крошечные неопределенности в вычислениях, мелкие погрешности, которые впоследствии, накопившись, подрывают нашу способность что-либо спрогнозировать. Сама природа полна отклонений, и переплетение взаимодействий в планетной системе делает ее крайне чувствительной к подобным переменам. Микроскопическая пылинка там и сям способна в самом буквальном смысле слова повлиять на движение светил – дайте только срок.

Чувствительность системы и уравнений, которые ее описывают, – фундаментальное свойство природы. Ее часто называют нелинейностью[120], поскольку между любыми переменами в системе и тем, как она на них реагирует, нет простого однозначного соответствия. Это примерно как осторожно тыкать палкой огромного пса: легкий толчок может вызвать как миролюбивое тявканье, так и вполне справедливую ярость – ответ нелинеен. А нелинейные системы занимают в мироздании особое место, поскольку способны реагировать хаотично.

Строго говоря, это не хаос чертей и демонов, не отказ от любого порядка и причинности, а хаос математический, хаос, который не всегда приводит к беспорядку и разрушению (все зависит от мельчайших подробностей). Суть его – непредсказуемость, невозможность выяснить, что таит будущее. Так что та или иная пылинка, то или иное отклонение в структуре планеты или то или иное изменение ее положения на орбите не просто способны привести к радикальным переменам в будущем – эти перемены не всегда можно предсказать. Это относится и ко многим другим сложным системам. Нелинейность относится и к климату и погоде на Земле, и к капризам экономики и фондового рынка. Неопределенность встроена во Вселенную на самом глубинном уровне. Подобного типа хаос вполне может быть укоренен и в планетных системах, и факт остается фактом: любые планетные системы потенциально способны быть хаотическими. Это двойной удар по задаче n тел и по определению орбитальных траекторий на долгий период времени: невозможно решить уравнения движения на практике, вручную, и даже если бы мы могли это сделать, система в любой момент способна впасть в непредсказуемое хаотическое состояние. Такова неприятная правда, которую Пуанкаре имел сомнительное счастье обнаружить.

вернуться

117

Об истории и хронологии трудов Пуанкаре написана прекрасная лаконичная статья с богатейшим списком источников: Q. Wang. On the Homoclinic Tangles of Henri Poincare // http://math.arizona.edu/~dwang/history/Kings-problem.pdf.

вернуться

118

Призовой фонд составлял 2500 крон, а на то, чтобы перепечатать тираж «Acta Mathematica», нужно было 3500 крон. Для сравнения, среднее жалованье члена Шведской академии наук составляло примерно 7000 крон в год.

вернуться

119

Отличная статья о новейшей истории гравитационной задачи n тел – F. Diacu. The Solution of the n-body Problem // The Mathematical Intelligencer 18 (1995): 6670

вернуться

120

Если вас интересует богатая и многогранная тема хаоса и нелинейности, рекомендую великолепную книгу: James Gleick. Chaos: Making a New Science. New York: Viking Penguin, 1987; rev. ed., Penguin Books, 2008).