ГЕДЕЛЬ, ЭШЕР, БАХ: эта бесконечная гирлянда - Хофштадтер Даглас Р. - Страница 68

68

ГЛАВА VIII: Типографская теория чисел

«Крабий Канон» и косвенная автореференция

В «КРАБЬЕМ КАНОНЕ» есть три примера косвенной автореференции. Ахилл и Черепаха описывают известные им произведения искусства — и по случайному совпадению оказывается, что эти произведения построены по той же схеме, как и диалог, в котором они упоминаются. Вообразите мое удивление, когда я, автор, сам это заметил! Более того, краб описывает биологическую структуру, которая тоже имеет подобные свойства. Разумеется, можно прочитать и понять диалог, не заметив при этом, что он сделан в форме ракохода — но это было бы пониманием диалога только на одном уровне. Чтобы увидеть автореференцию, надо обратить внимание как на содержание, так и на форму диалога.

Построение Гёделя состоит из описания как формы, так и содержания строчек формальной системы, которую мы опишем в этой главе — Типографской Теории Чисел. Неожиданный поворот состоит в том, что при помощи хитроумного отображения, открытого Гёделем, форма строчек может быть описана в самой формальной системе. Давайте же познакомимся с этой странной системой, способной взглянуть сама на себя.

Что мы хотим выразить в ТТЧ

Для начала приведем некоторые высказывания, типичные для теории чисел; затем постараемся найти основные понятия, в терминах которых эти высказывания могут быть перефразированы. Далее эти понятия будут заменены индивидуальными символами. Необходимо заметить, что, говоря о теории чисел, мы имеем в виду только свойства положительных целых чисел и нуля (и множеств подобных чисел). Эти числа называются натуральными числами. Отрицательные числа не играют в этой теории никакой роли. Таким образом, слово «число» будет относиться исключительно к натуральным числам. Очень важно для вас, читатель, помнить о разнице между формальной системой (ТТЧ) и удобной, хотя и не очень строго определенной, старой ветвью математики — самой теорией чисел; я буду называть последнюю «Ч».

Вот некоторые типичные высказывания Ч — теории чисел:

(1) 5 — простое число.

(2) 2 не является квадратом другого числа.

(3) 1729 — сумма двух кубов.

(4) Сумма двух положительных кубов сама не является кубом.

(5) Существует бесконечное множество простых чисел.

(6) 6 — четное число.

Кажется, что нам понадобится символ для каждого из таких понятий, как «простое число», «куб» или «положительное число» — однако эти понятия, на самом деле, не примитивны. Например, «простота» числа зависит от его множителей, которые, в свою очередь, зависят от умножения. Кубы также определяются в терминах умножения. Давайте постараемся перефразировать те же высказывания в более элементарных терминах.

(1) Не существует чисел а и b больших единицы, таких, что 5 равнялось бы а×b

(2) Не существует такого числа b, что b×b равнялось бы 2.

(3) Существуют такие числа b и с, что b×b×b + с×с×с равняется 1729.

(4) Для любых чисел b и с больше нуля не существует такого числа а, что а×а×а = b×b×b + с×с×с.

(5) Для каждого а существует b, большее, чем а, такое, что не существует чисел c и d, больших 1 и таких, что b равнялось бы c×d.

(6) Существует число e такое, что 2×e равняется 6.

Этот анализ продвинул нас на пути к основным элементам языка теории чисел. Очевидно, что некоторые фразы повторяются снова и снова:

для всех чисел b существует число b, такое, что больше чем равняется умноженное на О, 1, 2,…

Большинство таких фраз получат индивидуальные символы. Исключением является «больше чем», которое может быть упрощено еще. Действительно, высказывание «а больше b» становится:

существует число с отличное от 0, такое, что а = b + с.

Символы чисел

Мы не будем вводить отдельного символа для каждого из натуральных чисел. Вместо этого у нас будет очень простой способ приписать каждому натуральному числу составной символ, так, как мы делали это в системе pr. Вот наше обозначение натуральных чисел.

нуль 0

один S0

два SS0

три SSS0

и т. д.

Символ S интерпретируется как «следующий за.» Таким образом, строчка SS0 интерпретируется буквально как «следующий за следующим за нулем.» Подобные строчки называются символами чисел.

Переменные и термины

Ясно, что нам нужен способ говорить о неопределенных, или переменных числах. Для этого мы будем использовать буквы а, b, с, d, e. Однако пяти букв будет недостаточно Так же, как для атомов в исчислении высказывании, нам требуется их неограниченное количество Мы используем похожий метод для получения большего количества переменных — добавление любого количества штрихов. Например:

e

d'

с"

b'''

a''''

все являются переменными.

В каком-то смысле, использовать целых пять букв алфавита — это слишком большая роскошь, так как мы могли бы легко обойтись просто буквой а и штрихами. Впоследствии я действительно опущу буквы b,c,d, и e — результатом будет более строгая версия ТТЧ, сложные формулы которой будет немного труднее расшифровать. Но пока давайте позволим себе некоторую роскошь! Как насчет сложения и умножения? Очень просто: мы будем использовать обычные символы «+» и «*». Однако мы также введем требование скобок (мы мало помалу углубляемся в правила, определяющие правильно построенные строчки ТТЧ). Например, чтобы записать «b плюс с» и «b, умноженное на с», мы будем использовать строчки:

(b + с)

(b*с)

В отношении скобок послабления быть не может; опустить их — значит произвести неправильно сформированную формулу. («Формула?» Я использую этот термин вместо слова «строчка» лишь для удобства. Формула — это просто строчка ТТЧ.)

Кстати, сложение и умножение всегда будут рассматриваться как бинарные операции, то есть операции, объединяющие не более, чем два числа. Таким образом, если вы хотите записать «1+2+3», вы должны решить, какое из двух выражений использовать:

(S0+(SS0+SSS0))

((S0+SS0)+SSS0)

Теперь давайте символизируем понятие равенства. Для этого мы просто используем «=». Преимущество этого символа, принадлежащего Ч — неформальной теории чисел — очевидно: его весьма легко прочесть. Неудобство же при его использовании напоминает проблему, возникавшую при использовании слов «точка» и «линия» в формальном описании геометрии: если ослабить внимание, то легко спутать обыденное значение этих слов с поведением символов, подчиняющихся строгим правилам. Обсуждая проблемы геометрии, я различал между обыденными словами и терминами — последние печатались заглавными буквами. Так, в эллиптической геометрии ТОЧКОЙ было объединение двух точек. Здесь такого различия не будет, поэтому читатель должен постараться не спутать символ с многочисленными ассоциациями, которые он вызывает. Как я сказал ранее о системе pr, строчка --- не является числом 3; вместо этого она действует изоморфно с числом 3, по крайней мере, при сложении. То же самое можно сказать и о строчке SSS0.

Атомы и символы высказываний

Все символы исчисления высказываний, кроме букв, с помощью которых мы получали атомы (P, Q, R), будут использованы в ТТЧ; при этом они сохранят ту же интерпретацию. Роль атомов будут играть строчки, которые, будучи интерпретированы, дадут равенства, такие как S0=SS0 или (S0×S0) = S0. Теперь у нас есть достаточно данных, чтобы перевести несколько простых суждений в запись ТТЧ:

2+3 равняется 4: (SS0+SSS0)=SSSS0

2+2 не равняется 3: ~(SS0+SS0)=SSS0